因果推断知识入门（二） #
一般化的校正公式 #
给定一个图$G$，设变量$X$的父节点集合为$PA(X)$，则一般化的校正公式，即$X$对$Y$的因果效应为：
$$
P(Y=y|do(X=x))=\sum_iP(Y=y|X=x,PA=z)P(PA=z)=\sum_i{P(X=x,Y=y,PA=z)\over{P(X=x|PA=z)}}
$$
其中，$z$的取值范围为$PA$中变量可能取值的所有组合，$P(X=x|PA=z)$被称为倾向分数。、
多重干预与截断乘积规则 #
将校正公式推广到多重干预，即将一组变量$X$的值固定为常数的干预。简单写下干预前分布的乘积分解，并且删去与干预集$X$中的变量相对应的所有因素，有
$$
P(x_1,x_2,···,x_n|do(x))=\prod_iP(x_i|pa_i)
$$
其中，$i$取所有不在$X$中的$X_i$，这被称为截断乘积公式或g-公式。由此得到干预前和干预后分布之间的简单关系为
$$
P(z,y|do(x))=\frac {P(x,y.z)}{P(x|z)}
$$
它告诉我们，为了预测在分布$P(x,y,z)$下非试验数据对$X$干预的效果，我们仅需要知道所有的条件概率$P(x|z)$即可。
后门准则 #
含义 #
给定有向无环图中的一对有序变量$(X,Y)$，如果变量集合$Z$满足：$Z$中没有$X$的后代节点，且$Z$阻断了$X$与$Y$之间的每条含有指向$X$的路径，则称$Z$满足关于$(X,Y)$的后门准则。
而如果上述情况成立，那么$X$对于$Y$的因果效应可以由以下公式计算：
$$
P(Y=y|do(X=x))=\sum_iP(Y=y|X=x,Z=z)P(Z=z)
$$
一般来说，我们希望以这样的节点集合$Z$作条件
- 阻断
$X$和$Y$之间的所有伪路径（指含有指向$X$的路径） - 保持所有从
$X$到$Y$的有向路径不变 - 不会产生新的伪路径（当选择对撞节点为条件后，其父节点之间可能会产生新的伪路径）
使用后门路径为条件可以满足第一个要求，不以$X$的任何后代节点为条件符合第二个要求，避免以任何对撞节点为条件可以保证第三个要求。排除$X$后代节点的要求也可以避免以$X$和$Y$之间中间节点的后代节点为条件，以这些后代节点为条件会扰乱因果关系在$X$和$Y$之间的传递。
例子 #
由图中可以发现，节点$W$不是$X$的后代，且阻断后门路径$X\leftarrow Z\rightarrow W\rightarrow Y$。因此$W$满足后门准则，校正$W$可以得到$X$对$Y$的因果效应，即
$$ P(Y=y|do(X=x))=\sum_iP(Y=y|X=x,W=w)P(W=w) $$
只要$W$是可观测的，上式就可以通过观察数据观测得到。同理，在复杂的图模型中，找到一组满足后门准则的变量集合可以简化因果效应的计算。
在更一般的情况下，单独的$W$通常不满足后门准则，而更大的集合$T\cup W$可以满足后门准则，因此需要对$T$的成员进行校正，这就产生了
$$
P(Y=y|do(x),W=w)=\sum_iP(Y=y|X=x,W=w,T=t)P(T=t|X=x,W=w)
$$
这也被称为$w-$特定因果效应，将于之后讨论。
前门准则 #
例子 #
对于如上案例，变量$U$无法被观测，不符合后门准则，吸烟对肺癌的因果效应在这个模型中不可识别。
如果有一个额外可观测变量$Z$，焦油含量，这个模型仍然不满足后门准则，因为仍然没有变量能够阻断$X\leftarrow U \rightarrow Y$这条伪路径，但是因果效应$P(Y=y|do(X=x))$可以通过连续应用两次后门准则计算得到。
首先，$X$对$Z$的因果效应是可以识别的，即
$$
P(Z=z|do(X=x))=P(Z=z|X=x)\ (1)
$$
其次，$Z$对$Y$的因果效应也是能够识别的，因为从$Z$到$Y$的后门路径$Z\leftarrow X \leftarrow U \rightarrow Y$，通过以$X$为条件阻断，有
$$
P(Y=y|do(Z=z))=\sum_iP(Y=y|Z=z,X=x)P(X=x) \ (2)
$$
现在将这两部分连接起来以获得$X$对$Y$的整体因果效应。如果固定$Z$，那么$Y$的概率为$P(Y=y|do(Z=z))$。但考虑将$X$设定为$x$，那么固定$Z$值为$z$的概率为$P(Z=z|do(X=x))$。对$Z$的所有取值求和可以得到
$$
P(Y=y|do(X=x))=\sum_iP(Y=y|do(Z=z))P(Z=z|do(X=x))
$$
则右边部分可以由之前的两式评估，为便于区分，将式(2)中出现的仅用于求和的索引的$x$记作$x^{'}$，得到的最终表达式为
$$
P(Y=y|do(X=x))=\sum_z\sum_{x^{'}}P(Y=y|Z=z,X=x^{'})P(X=x^{'})P(Z=z|X=x)
$$
即为**前门公式**。推广到有多条从$X$到$Y$的路径的图结构，给出前门准则的定义。
定义 #
前门：变量集合$Z$被称为满足关于有序变量$(X,Y)$的前门准则，如果：
$Z$切断了所有$X$到$Y$的有向路径，$X$到$Z$没有后门路径，- 所有
$Z$到$Y$的后门路径都被$X$阻断。
前门校正：如果$Z$满足变量对$(X,Y)$的前门准则，且$P(x,z)>0$，那么$X$对$Y$的因果效应是可识别的，计算如下
$$
P(Y=y|do(x))=\sum_zP(z|x)\sum_{x^{'}}P(y|x^{'},z)P(x^{'})
$$
最后一次修改于 2022-10-18